Сколько рёбер у произвольного дерева с M вершинами и почему?

Question

У любого дерева с M вершинами всегда ровно M - 1 рёбер. Это связано с тем, что дерево — связный граф без циклов. Если рёбер меньше, граф будет несвязным, если больше — появится цикл. Это свойство справедливо для любых деревьев, независимо от их формы.

YeaHub · Accepted Answer

Свойство количества рёбер — одно из фундаментальных для деревьев.ОпределениеОпределение: Дерево — связный неориентированный граф без циклов.Интуитивное объяснениеМожно рассуждать пошагово:Одна вершина — 0 рёберЧтобы добавить новую вершину и сохранить связность, нужно добавить ровно одно реброКаждая новая вершина добавляет одно реброЕсли вершин стало M, рёбер будет M - 1.Почему не может быть большеЕсли добавить ещё одно ребро:Появится альтернативный путь между вершинамиЗначит, образуется циклГраф перестанет быть деревомПочему не может быть меньшеЕсли убрать одно ребро:Граф станет несвязнымНекоторые вершины окажутся недостижимымиПримерДля дерева из 5 вершин:Минимум рёбер для связности: 4Любое добавочное ребро создаёт циклВыводФормула M - 1 — прямое следствие связности и отсутствия циклов.Это свойство часто используется при проверке, является ли граф деревом.